Doğal Sayılar, Sonsuzluk ve Bir Muamma

Doğal Sayılar, Sonsuzluk ve Bir Muamma


En büyük doğal sayının ne olduğunu hiç düşündünüz mü? Şu öneriye ne dersiniz: 99999…………  (sonsuz sayıda 9 rakamı)? Bundan daha büyük bir doğal sayı olabilir mi?

 

Ama bu önerinin çeşitli sorunları var. Yukardaki sayıyı 10-tabanlı sayı sisteminde yazdık. Örneğin 2-tabanlı sistemi kullansaydık en büyük doğal sayı şu mu olurdu: 11111…………  (sonsuz sayıda 1 rakamı)? Peki 99999………… ile 11111………… birbirine eşit mi? Bunu ispatlamak veya çürütmek mümkün mü?

Ayrıca, eğer en büyük doğal sayı 99999………… olsaydı, ondan bir eksik doğal sayı ne ourdu? Ve 99999…………’u örneğin 5’e bölseydik kaç elde ederdik?

Matematikçiler eminim 99999…………’u bir sayı olarak kabul etmeyeceklerdir; matematikçiler ona sonsuz sayıda 9’un yan yana getirilmesinden ibaret anlamsız bir sembol diyeceklerdir. Çünkü her doğal sayı sonlu olmalıdır, yani sonlu sayıda basamak içermelidir.

O zaman yeni bir bilmece sorayım: Eğer bütün doğal sayılar sonlu ise, yani her biri sonlu sayıda basamak içeriyorsa, nasıl oluyor da sonsuz sayıda doğal sayı var???

5 Comments

Add yours
  1. 1
    efdal

    Doğal sayılar sadece sonlu bir kümeyi ifade etmek için kullanılır ve tanımı gereği, fiziksel bir anlamı olan sayılardır. 9999… şeklinde bir gösterimde bulunursanız, bu gösterim, sayma veya sıralama noktasında bir anlamı olmadığı için tabii ki bir doğal sayı değildir. “99999………… (sonsuz sayıda 9 rakamı)” şeklinde bir gösterim bir doğal sayıya tekabül etmez. Sonsuz sayıda 9 rakamı içeren sayı, sonsuzdur ve dolayısıyla bir doğal sayı değildir. Ancak oturup 10üzeri945505630271 tane 9’u yanyana sıralarsanız, bu bir doğal sayıdır.

    Başka bir şekilde ifade edilecek olunursa, bir sayıyı doğal sayı olarak tanımlamak için sayı sınırında bir zorlama yoktur, ancak gösterim zorunluluğu vardır. Eğer siz bir sayı gidişatını “….” şeklinde bitiriyorsanız, bu bir doğal sayı değildir. Ancak siz o noktaları istediğiniz kadar (yani sınırsız sayıda) sayı ile doldurabilirsiniz ve bu bir doğal sayı olur. En büyük doğal sayı yoktur, her doğal sayının, doğal sayı aksiyomu gereği, bir ardılı vardır. Dolayısıyla, başta yazdığınız kısımlara da dönecek olursak, “En büyük doğal sayı nedir?” sorusu, henüz cevap verilmeden dahi, bizzat kendisi yanlış olan bir sorudur. “En sınırlı sonsuzluk nedir?” veya “Sonsuz ne kadar sınırlıdır?” gibi bir soru…

  2. 2
    esayan

    Yorumun için teşekkür ediyor ve hemen hemen her dediğine katılıyorum efdal. Ben de zaten matematik açısından 9999… ibaresinin bir doğal sayıya karşılık gelemeyeceğini, “anlamsız bir sembol” olduğunu söylüyorum yazımda.

    Katılmayacağım ifadelerin şunlar:
    — “Doğal sayılar sadece sonlu bir kümeyi ifade etmek için kullanılır”. Burada doğal sayı kümesinin sonlu bir küme olduğunu söylüyorsan (ifaden öyle gibi) bu bir klavye sürçmesi olmalı.
    — “Doğal sayılar … tanımı gereği, fiziksel bir anlamı olan sayılardır”. Doğal sayılar da diğer sayılar gibi “soyut nesneler”dir ve tanımlarında fizik dünyaya herhangi bir gönderme yoktur.
    — “Sonsuz sayıda 9 rakamı içeren sayı, sonsuzdur”. Burada hem “sonsuz sayıda 9 rakamı içeren SAYI”dan bahsediyorsun (hani o bir sayı değildi?), hem de sonsuza sayı der gibisin. Sonsuz, bir sayı değil bir kavramdır, bildiğin gibi.

    Benim yazımın sonunda bahsettiğim ve yazımın asıl sunmayı amaçladığı muammaya hiç değinmemişsin: “Eğer bütün doğal sayılar sonlu ise, yani her biri sonlu sayıda basamak içeriyorsa, nasıl oluyor da sonsuz sayıda doğal sayı var???”

  3. 3
    efdal

    Aslında yorumumun neredeyse tümü “Eğer bütün doğal sayılar sonlu ise, yani her biri sonlu sayıda basamak içeriyorsa, nasıl oluyor da sonsuz sayıda doğal sayı var???” sorusunun yanlış bir soru olduğunu göstermeye yönelikti. Çünkü soru, sanki bir çelişki varmış gibi sorulmuş ama bence bir çelişki yok. Ama önce diğer noktalar…
    “”Doğal sayılar … tanımı gereği, fiziksel bir anlamı olan sayılardır”. Doğal sayılar da diğer sayılar gibi “soyut nesneler”dir ve tanımlarında fizik dünyaya herhangi bir gönderme yoktur.”
    Doğal sayıların soyut denilebilecek noktası, aslında fiziksel olarak var olmayıp, insanların onları işlerine yaradığı şekilde yaratmış olmalarıdır. Ancak “…fiziksel bir anlamı olan sayılardır” çok farklı bir anlama sahip. Doğal sayılar bir elmalar yığınındaki elmaları saymak için kullanılır; doğal sayıların, bu sayım sırasında, elmalar sayesinde, fiziksel bir anlamı vardır. Zaten bu yüzden elma sayısı olamayacak -124 bir doğal sayı değildir veya 0’ın bir doğal sayı olup olmadığı tartışmaldır. Ve yine zaten bu yüzden, sonsuz bir kümenin büyüklüğü bir doğal sayı ile ifade edilmez. Doğal sayıların fiziksel olarak bir karşılığı vardır.
    “”Doğal sayılar sadece sonlu bir kümeyi ifade etmek için kullanılır”. Burada doğal sayı kümesinin sonlu bir küme olduğunu söylüyorsan (ifaden öyle gibi) bu bir klavye sürçmesi olmalı.”
    Tabii ki yazılabilecek bir doğal sayı için bir son sınırı yoktur, böyle bir şey ifade etmediğimin açık olduğunu düşünüyorum, ama biraz daha açayım; eğer sonlu bir küme üzerinde çalışılıyorsa, bu kümeyi ifade eden sayı doğal sayıdır. Eğer üzerinde çalışılan küme sonsuz ise, bu küme doğal sayı ile değil transfinite sayı ile ifade edilir. Bu tanımlar bütün doğal sayıların bir sınırı olduğu sonucuna gitmez, söz konusu durum sonsuzluğun bahsedildiği bir kümede doğal sayı kavramının dışına çıkılacağını söyler.
    “”Sonsuz sayıda 9 rakamı içeren sayı, sonsuzdur”. Burada hem “sonsuz sayıda 9 rakamı içeren SAYI”dan bahsediyorsun (hani o bir sayı değildi?), hem de sonsuza sayı der gibisin. Sonsuz, bir sayı değil bir kavramdır, bildiğin gibi.”
    Ben öyle bilmiyorum; bütün transfinite sayılar sonsuzdur. Ancak transfinite bir sayı 999999…. şeklinde tanımlanabilir mi bunu bilmiyorum, bu konuda hatalı bir “sayı” sözcüğü kullanmış olabilirim. Öte taraftan, kalkülüs söz konusu olduğunda da “limit x c’ye yaklaşırken f(x)=L” diyebiliyorsak ve bu durumda c’nin bir sayı olması gerekiyorsa, o halde, sıklıkla c yerine geçen sonsuz’un da bir sayı olarak tanımlanması gerekir diye düşünüyorum. Ayrıca “”sonsuz sayıda 9 rakamı içeren SAYI”dan bahsediyorsun (hani o bir sayı değildi?),” ben bunun bir sayı olmadığından bahsetmedim, bunun bir “doğal sayı” olmadığını söylemiştim.

    “”Eğer bütün doğal sayılar sonlu ise, yani her biri sonlu sayıda basamak içeriyorsa, nasıl oluyor da sonsuz sayıda doğal sayı var???””
    Bir sonlu küme yazalım; A = {1,2,3,4, ……, n} Burada, n sonlu bir sayı olduğu müddetçe, n’ye kadarki (n de dahil) bütün sayıları doğal sayı olarak tanımlayabiliriz. (Eğer n sonlu bir sayı değilse, A kümesi zaten sadece doğal sayılar ile tanımlanabilen bir küme olmayacaktır.) Ancak n bu kümenin sınırıdır ve n+1 bu kümeye dahil değildir. Yani baştan beri geldiğimiz gibi “bütün doğal sayılar gibi n de sonlu bir sayıdır”. Peki doğal sayılardan ibaret ve n+1 ile bitecek yeni bir B kümesi oluşturulamaz mı? Tabii ki oluşturulur çünkü “doğal sayılar kümesi sonsuz sayıda eleman içerir”. Peki yine doğal sayılardan ibaret n+75892 ile biten bir küme? Yine evet, son sayı sonlu olduğu müddetçe, fiziksel bir karşılığı olduğu müddetçe evet… Ancak “doğal sayılar kümesi sonsuz sayıda eleman içerir” aksiyomu, sonsuzu bir doğal sayı yapmaz. alef-0’ın en küçük sonsuz sayı olduğundan hareketle C= {1,2,3,4 …., n, alef-sıfır, alef-1} şeklinde bir küme oluşturulduğunda, burada artık, alefler ile birlikte geçiş yapılan sonsuz sayılardan dolayı, doğal sayılar ile başlayan küme, bir doğal sayı ile değil transfinite sayı ile bitmiştir. Dolayısıyla ortada çelişen bir durum yoktur.

  4. 4
    esayan

    ## Aslında yorumumun neredeyse tümü “Eğer bütün doğal sayılar sonlu ise, yani her biri sonlu sayıda basamak içeriyorsa, nasıl oluyor da sonsuz sayıda doğal sayı var???” sorusunun yanlış bir soru olduğunu göstermeye yönelikti. ##

    Bana hiç öyle gelmedi, en aşağıda belirteceğim gibi.

    ## Çünkü soru, sanki bir çelişki varmış gibi sorulmuş ama bence bir çelişki yok. Ama önce diğer noktalar…
    “”Doğal sayılar … tanımı gereği, fiziksel bir anlamı olan sayılardır”. Doğal sayılar da diğer sayılar gibi “soyut nesneler”dir ve tanımlarında fizik dünyaya herhangi bir gönderme yoktur.”
    Doğal sayıların soyut denilebilecek noktası, aslında fiziksel olarak var olmayıp, insanların onları işlerine yaradığı şekilde yaratmış olmalarıdır. Ancak “…fiziksel bir anlamı olan sayılardır” çok farklı bir anlama sahip. Doğal sayılar bir elmalar yığınındaki elmaları saymak için kullanılır; doğal sayıların, bu sayım sırasında, elmalar sayesinde, fiziksel bir anlamı vardır. Zaten bu yüzden elma sayısı olamayacak -124 bir doğal sayı değildir veya 0’ın bir doğal sayı olup olmadığı tartışmaldır. Ve yine zaten bu yüzden, sonsuz bir kümenin büyüklüğü bir doğal sayı ile ifade edilmez. Doğal sayıların fiziksel olarak bir karşılığı vardır. ##

    Doğal sayıların—ve genel olarak matematiğin—fiziksel dünyada bazı durumlara ve özelliklere _karşılık getirilebilmesi_ başka bir şey, onların “tanımları gereği fiziksel anlamı” olması başka bir şey. Doğal sayıların “tanımları gereği fiziksel bir anlamı olduğu” yanlış bir ifade. Örneğin doğal sayıların Frege-Russell ya da Von Neumann tanımlarında fiziksel dünyaya (elmalara, armutlara vb.) hiçbir gönderme yoktur. Siz öyle bir abstract matematiksel ya da geometrik sistem kurabilirsiniz ki, dünyada ilginç bir şeylere karşılık getirilemeyebilirler. Einstein gösterdi ki Riemann geometrisi fiziksel dünyada uzay-zaman dediğimiz yapıya karşılık gelebiliyormuş meğerse (ki bu “ilginç” bir şey), ama sayısız başka non-Euclidean geometri doğada hiçbir şeye (ya da ilginç hiçbir şeye) karşılık gelmez; onlar sadece soyut sistemler olarak kaldılar—hiç değilse bu güne kadar.

    ## “”Doğal sayılar sadece sonlu bir kümeyi ifade etmek için kullanılır”. Burada doğal sayı kümesinin sonlu bir küme olduğunu söylüyorsan (ifaden öyle gibi) bu bir klavye sürçmesi olmalı.”
    Tabii ki yazılabilecek bir doğal sayı için bir son sınırı yoktur, böyle bir şey ifade etmediğimin açık olduğunu düşünüyorum, ##

    Pekala, tahmin ettiğim gibi bir klavye sürçmesi olmuş. İfaden sana açık gibi gelse de, bilimde, matematikte ve felsefede ifadelerimizi çok dikkatli seçmemiz gerekiyor.

    ## Eğer üzerinde çalışılan küme sonsuz ise, bu küme doğal sayı ile değil transfinite sayı ile ifade edilir. Bu tanımlar bütün doğal sayıların bir sınırı olduğu sonucuna gitmez, söz konusu durum sonsuzluğun bahsedildiği bir kümede doğal sayı kavramının dışına çıkılacağını söyler. ##

    Evet, doğal sayılarınkinden yüksek kardinalitelerde transfinite sayılar kullanarak çalışabiliriz.

    ## “”Sonsuz sayıda 9 rakamı içeren sayı, sonsuzdur”. Burada hem “sonsuz sayıda 9 rakamı içeren SAYI”dan bahsediyorsun (hani o bir sayı değildi?), hem de sonsuza sayı der gibisin. Sonsuz, bir sayı değil bir kavramdır, bildiğin gibi.”
    Ben öyle bilmiyorum; bütün transfinite sayılar sonsuzdur. ##

    Transfinite “sayıların” sayılığı doğal sayıların sayılığından epeyce farklı tabii. Doğal sayılar bağlamında “sonsuz” diye bir sayı yoktur; yani sonsuz adlı bir doğal sayı yoktur. O bağlamda “sonsuz olma” bir durumu—yani her doğal sayı için daha büyük doğal sayıların mevcut olma durumunu—ifade eden bir kavramdır.

    ## Ancak transfinite bir sayı 999999…. şeklinde tanımlanabilir mi bunu bilmiyorum, bu konuda hatalı bir “sayı” sözcüğü kullanmış olabilirim. ##

    Bence “999999…” bir transfinite sayı olamaz. Transfinite “sayı”lar herhangi bir doğal sayı (daha doğrusu, doğal sayı numeral’i) dizisi olarak yazılamaz. Dediğim gibi, onların sayılığı doğal sayıların sayılığından epey farklı.

    ## Öte taraftan, kalkülüs söz konusu olduğunda da “limit x c’ye yaklaşırken f(x)=L” diyebiliyorsak ve bu durumda c’nin bir sayı olması gerekiyorsa, o halde, sıklıkla c yerine geçen sonsuz’un da bir sayı olarak tanımlanması gerekir diye düşünüyorum. ##

    Yukarda belirttiğim nedenlerle oradaki sonsuz sembolü bir sayıyı ifade etmez, ama öğrencilere öyle anlatılır ki onu bir doğal sayıdan ayırdedemezler. O sonsuz sembolüne limit bağlamında bir sayı değil de bir kavram olarak bakmamız yeterlidir. Ona bir doğal sayı olmasa da transfinite sayılardan ilki, yani alef-0 olarak bakmanın da limit bağlamında herhangi bir yararı ya da gereği yoktur. Zaten Cantor’un transfinite sayı teorisi limit kavramından sonra gelir tarihsel olarak. Cantor öncesinde o sonsuz sembolü hiçbir sayıyı ifade etmiyordu ve gayet güzel calculus ve limit matematiği yapılabiliyordu.

    ## Ayrıca “”sonsuz sayıda 9 rakamı içeren SAYI”dan bahsediyorsun (hani o bir sayı değildi?),” ben bunun bir sayı olmadığından bahsetmedim, bunun bir “doğal sayı” olmadığını söylemiştim. ##

    Bence doğal sayı da değildir, biraz önce belirttiğim nedenlerden dolayı, başka bir sayı da.

    ## “”Eğer bütün doğal sayılar sonlu ise, yani her biri sonlu sayıda basamak içeriyorsa, nasıl oluyor da sonsuz sayıda doğal sayı var???””
    Bir sonlu küme yazalım; A = {1,2,3,4, ……, n} Burada, n sonlu bir sayı olduğu müddetçe, n’ye kadarki (n de dahil) bütün sayıları doğal sayı olarak tanımlayabiliriz. (Eğer n sonlu bir sayı değilse, A kümesi zaten sadece doğal sayılar ile tanımlanabilen bir küme olmayacaktır.) Ancak n bu kümenin sınırıdır ve n+1 bu kümeye dahil değildir. Yani baştan beri geldiğimiz gibi “bütün doğal sayılar gibi n de sonlu bir sayıdır”. Peki doğal sayılardan ibaret ve n+1 ile bitecek yeni bir B kümesi oluşturulamaz mı? Tabii ki oluşturulur çünkü “doğal sayılar kümesi sonsuz sayıda eleman içerir”. Peki yine doğal sayılardan ibaret n+75892 ile biten bir küme? Yine evet, son sayı sonlu olduğu müddetçe, fiziksel bir karşılığı olduğu müddetçe evet… Ancak “doğal sayılar kümesi sonsuz sayıda eleman içerir” aksiyomu, sonsuzu bir doğal sayı yapmaz. ##

    Bütün bunlar hepimizin malumu—fiziksel karşılık meselesi hariç.

    ## alef-0’ın en küçük sonsuz sayı olduğundan hareketle C= {1,2,3,4 …., n, alef-sıfır, alef-1} şeklinde bir küme oluşturulduğunda, burada artık, alefler ile birlikte geçiş yapılan sonsuz sayılardan dolayı, doğal sayılar ile başlayan küme, bir doğal sayı ile değil transfinite sayı ile bitmiştir. Dolayısıyla ortada çelişen bir durum yoktur. ##

    Çözüm adına söylediğin bu şeylerin sunduğum bulmaca (paradoks?) ile bir ilgisi olmadığını söylemek zorundayım. Bir defa bulmacamda doğal sayıların her birinin sonlu sayıda _basamak_ içerdiğinden bahsediyorum (99999… örneğini yanıma alarak). Sen bu basamak meselesine değinmiyorsun bile. Korkarım bulmacamı henüz tam olarak “yüreğinde hissetmedin”. Bulmacamın transfinite kardinallerle veya ordinallerle bir ilgisi yok.

+ Leave a Comment